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Calcul du nombre de calendriers dans le monde dans une année islamique

Nombre calendriers

1. Le mois synodique, c’est à dire la durée pour que la lune retrouve la même position par rapport au soleil, est de 29,53 jours. Les phases de la lune – donc le calendrier islamique – sont liées au mois synodique.

2. Pour mémoire, le mois sidéral, durée pour que la lune retrouve la même position par rapport à la sphère céleste (le fond des étoiles) est de 27,31 jours. Le mois sidéral est plus court que le mois synodique parce que la terre entraîne la lune dans son orbite autour du soleil. La lune retrouve sa position par rapport au fond des étoiles plus vite. Pour le calendrier islamique, le mois sidéral n’a pas d’importance.

3. Le mois synodique est une fraction du nombre de jours. Les mois s’alternent par conséquence entre 29 et 30 jours. Il est connu que, sur un cycle de 30 ans du calendrier islamique, 19 ans comportent 354 jours et 11, 355 jours (années abondantes). Ce rythme suit les cycles lunaires. L’horloge céleste est ainsi faite, grâce à Dieu.

4. Plusieurs heures après conjonction – et selon la méthode de l’extension de la zone de visibilité – le croissant sera visible dans certains pays et pas dans d’autres. La situation sera différente chaque mois.

5. Cependant, puisque les mois ne peuvent avoir que 30 jours maximum, si le croissant est invisible le jour J, il sera certainement visible le jour J+1. On n’aura jamais à attendre le jour J+2. Cela veut dire que, tous les mois, certains pays finiront le mois en 29 jours, d’autres en 30 jours. La durée du mois pour un pays donné variera d’un mois à l’autre, mais le rythme 29 jours/30 jours sera maintenu pour chaque pays.

6. Cela veut dire qu’à la fin de chaque mois, on peut diviser les pays en deux groupes : le groupe A des pays ou le mois aura duré 29 jours et le groupe B des pays ou le mois aura duré 30 jours. Cela s’est d’ailleurs vérifié dans tous nos calculs des dates pour les grandes fêtes islamiques. Soit la fête tombe le jour J, soit le lendemain. Il ne peut y avoir plus que deux groupes de pays à la fin de chaque mois.

7. Selon les mois, tel ou tel pays sera dans le groupe A ou le groupe B.

8. A la fin du premier mois de l’année, il n’y aura que deux groupes possibles, le groupe A et le groupe B.

9. A la fin du second mois, le nombre de groupes possible est de 22 ou 4 : les groupes AA, BB, AB et BA (les pays ou les deux mois ont été de 29 jours, ceux où les deux mois ont été de 30 jours, ceux dont le premier mois a été de 29 jours et le second de 30 jours, puis l’inverse).

10. Chaque mois, le nombre de possibilités augmente avec la puissance de 2: 23, 24…

11. A la fin de l’année le nombre de possibilités théoriques est de 212 ou 4096.

12. Le nombre théorique de possibilités ne correspond pas à la réalité, car à partir du 4e mois les possibilités « AAAA » ou « BBBB » sont à exclure (4 mois consécutifs de 29 ou de 30 jours). Les mois doivent s’alterner harmonieusement entre 29 jours et 30 jours. Une année de 12 mois « tout A » ou « tout B » est impossible.

13. En fait, les mois intermédiaires nous importent peu. Ce qu’on veut calculer, c’est le nombre de calendriers possibles à la fin de l’année, c’est à dire avec douze mois écoulés. Nous pouvons donc directement procéder au 12e mois.

14. Au 12e mois nous avons 4 096 lignes d’écriture avec toutes les combinaisons possibles entre A et B : 12 fois A, 12 fois B, 11 fois A et 1 fois B, et ainsi de suite. Ce qui nous intéresse parmi toutes ces combinaisons théoriques : les lignes où figurent 6 fois A, et donc forcément aussi 6 fois B, car il n’y a que 12 cas de figure par ligne. Ce sont les années « normales » de 354 jours, suffisantes pour notre calcul.

15. Parmi les 4 096 lignes, quelle est l’occurrence de 6 fois A (ou 6 fois B, c’est la même chose) ? La réponse est donnée par l’analyse combinatoire. L’occurrence de « r » fois la lettre A dans une série de « n » positions, est déterminée par la formule : C(n,r) = n! / (r! * (n – r)!). Dans notre cas, n = 12 et r = 6. Aussi nous avons pour le nombre de lignes où l’on trouvera 6 fois A (donc aussi 6 fois B) = C(12,6) = 12 ! / (6 ! * 6 !) = (12 x 11 x 10 x 9 x 8 x7) / (6 x 5 x 4 x 3 x 2). Le résultat est 924. Donc, parmi toutes les combinaisons possibles à la fin de l’année, il y en a 924 avec six mois de 29 jours et 6 de 30 jours, c’est à dire, une année normale.

16. Mais nous devons réduire ce chiffre davantage. En effet, nous avons de temps à autre l’occurrence de 3 mois consécutifs de 30 ou de 29 jours. Ainsi, en regardant les tableaux des calendriers sur notre site, nous constatons qu’aussi bien en 1432 qu’en 1433, les mois de Rabi’ I, Rabi’ II et Jumada I ont eu 30 jours chacun, consécutivement. Parmi ces deux années, 1432 a été une année abondante de 355 jours tandis que 1433 a été une année normale de 354 jours. Quoiqu’il en soit, nous devons admettre trois mois de suite de 29 ou de 30 jours, mais jamais quatre mois de suite. Sur le plan mathématique, nous devons donc éliminer des 924 lignes toutes les occurrences des suites AAAA et BBBB. A plus forte raison, nous devons éliminer les suites « 6 fois A », « six fois B », « cinq fois A » et « cinq fois B ». Procédons pas à pas.

17. Parmi les 924 lignes de 6 fois A et six fois B, il ne peut y avoir que deux lignes avec des suites de 6 fois A et de 6 fois B. L’une sera AAAAAABBBBBB et l’autre BBBBBBAAAAAA. Nous devons donc déjà éliminer ces deux lignes du total de 924.

18. Calculons maintenant le nombre d’occurrences de « 5 fois A ». Nous ne calculerons que « 5 fois A », car le calcul de « 5 fois B » sera identique. Nous pouvons donc tout simplement multiplier par deux le résultat obtenu pour « 5 fois A ». Nous devons examiner toutes les manières dont une suite de 5 A peut figurer dans une ligne de 6 A et de 6 B. Trois cas sont possibles :

(1) 1er cas: La suite 5 A figure en tête de ligne : AAAAA. Un B doit nécessairement suivre ces 5 A afin d’éviter une suite de 6 A, déjà écartée. Une suite de 5 A en tête de ligne sera donc représentée par : AAAAABxxxxxx, où les 6 x représentent 1 A et 5 B, la lettre A pouvant être dans n’importe quelle position. Le nombre de combinaisons d’un A dans une série de 6 positions est donnée par la formule C(6,1) = 6 ! / (1 ! * (6 – 1) !) = 6x5x4x3x2 / 5x4x3x2 = 6. Il y donc 6 manières dont A peut figurer dans une série de 1 A et 5 B. Conclusion : il y aura 6 lignes avec 5 fois A en tête (suivi d’un B) et 1 fois A dans la suite de 6 autres éléments. Ces 6 lignes seront à éliminer.

(2) 2e cas: La suite AAAAA figure à la fin de la ligne : xxxxxxBAAAAA, précédé obligatoirement par un B. Les 6 x au début représentent 1 A et 5 B. Le cas est identique au précédent. Le A qui reste pourra figurer en 6 positions différentes avant le B. De nouveau il y aura donc 6 lignes avec 5 fois A en fin de ligne. Ces 6 lignes sont à éliminer.

(3) 3e cas: C’est le cas le plus compliqué : les cinq A peuvent figurer n’importe où dans la série de 12, encadrée obligatoirement par des B, pour éviter une suite de six A. La série peut s’écrire : xBAAAAABxxxx. Le premier x peut être un A ou un B, ainsi que les 4 x à la fin de la ligne. Le nombre de fois qu’un A peut être arrangé dans une série de 5 est C(5,1) = 5. Mais le cas peut se répéter 5 fois, car il peut y avoir 1, 2, 3, 4 ou 5 x à la tête de la ligne. Ainsi, il y aura 5 x 5, ou 25 lignes avec une suite de 5 A, dans n’importe quelle position dans une série de 12 éléments.

19. Le total des 3 cas de figure avec une suite de 5 A est par conséquent : 6 + 6 + 25 = 37. Le cas d’une suite de 5 B soit en tête de ligne, soit à la fin de la ligne, soit dans n’importe quelle position dans la ligne est identique au cas d’une suite de 5 A. Par conséquent, nous aurons également 37 lignes avec une suite de 5 B. Au total, le nombre de lignes à éliminer à cause d’une suite de 5 A ou de 5 B, dans nos 924 lignes est de 2 x 37 ou 74.

20. Il reste à traiter le cas des suites de 4 A ou de 4 B que nous devons éliminer de l’ensemble des 924 lignes. De nouveau, nous avons 3 cas de figure :

(1) 1er cas: La suite des 4 A figure en tête de ligne, suivi obligatoirement d’un B pour éviter 5 A de suite, déjà éliminé dans ce qui précède. La série s’écrit : AAAABxxxxxxx. Les 7 x à la fin représentent 2 A et 5 B. Or le nombre de combinaisons de 2A dans une série de 7 éléments de A et de B = C(7,2) = 7 ! / (2 ! * (7 – 2) !) = 7x6x5x4x3x2 / 2x5x4x3x2 = 21. Il y a donc 21 manières dont une suite de 4 A peut figurer en tête dans une série de 6 A + 6 B.

(2) 2e cas: La suite AAAA figure à la fin de ligne, précédé obligatoirement d’un B : xxxxxxxBAAAA. Les 7 x au début représentent 2 A et 5 B. Le cas est identique au précédent. Dans une série de 7 positions, les 2 A peuvent figurer de 21 manières différentes. Il y a donc 21 manières dont une suite de 4 A peut figurer en queue dans une série de 6 A + 6 B.

(3) 3e cas:Reste le dernier cas où la suite de 4 A figure n’importe où dans une série de 6 A et de 6B. La série s’écrit : xBAAAABxxxxx. Les 2 B doivent obligatoirement encadrer la suite de 4 A pour éviter une suite de 5 A. Les 6 x représentent 2 A et 4 B. Le nombre de combinaisons de 2 A dans une série de 6 est donné par C(6,2) = 6 ! / (2 ! * (6 – 2) !) = 6x5x4x3x2/2x4x3x2 = 15. Mais le cas peut se répéter 6 fois, car il peut y avoir 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 x en tête de ligne. Ainsi il y aura 6 x 15, ou 90 lignes avec une suite de 4 A, dans n’importe quelle position dans une série de 12 éléments.

21. Le total des 3 cas de figure avec une suite de 4 A est par conséquent : 21 + 21 + 90 = 132. Le cas d’une suite de 4 B soit en tête de ligne, soit en queue, soit n’importe où dans une série de 1 éléments est identique. Par conséquent, nous aurons également 132 lignes avec une suite de 4 B. Au total, le nombre de lignes à éliminer à cause d’une suite de 4 A ou de 4 B, dans nos 924 lignes est de 2 x 132, ou 264 lignes.

22. Récapitulons : nous avons 924 cas possibles de calendriers avec 6 fois 29 jours et 6 fois 30 jours. Dans ce nombre, nous devons éliminer 2 cas d’une suite de six fois 29 ou de 30 jours, 74 cas d’une suite de cinq fois 29 ou de 30 jours et, enfin, 264 cas d’une suite de quatre fois 29 ou de 30 jours. Par conséquent il y a 584 calendriers légitimes avec une alternance de 29 et de 30 jours, et un maximum de 3 mois consécutifs de 30 ou de 29 jours.

Résumé : Le nombre de calendriers islamiques légitimes dans le monde, selon le calcul exact de l’analyse combinatoire s’élève à 584. Ce nombre est supérieur au nombre de pays dans le monde. Par conséquent, nous pouvons affirmer que chaque pays aura son calendrier, calculé d’une manière précise par l’établissement des courbes de visibilité de la nouvelle lune, mois après mois.