حـساب عـدد التقـويمات الهجرية السنوية الممكنة في العالم
عـدد التقـويمات
1. الشهـر الاقـتراني، وهو يعـني المدة الزمنية التي يستغـرقها القمـر في دورته حتى يعـود إلى ذات الموضع بالنسبة للشمس، وهو يـساوي 29.53 يوما. كما أن مـراحل القـمـر وأطواره – وبالتالي التقـويم الهجري – ترتبط ارتباطا وثيقا بالشهـر الاقـتراني.

2. وللتذكير، فإن الشهـر الفلكي، وهو يعـني المدة الزمنية التي يستغـرقها القمـر في دورته حتى يعـود إلى ذات الوضع بالنسبة للكرة السماوية (الخلفـية النجمية)، يساوي 27.31 يوما. أي أن الشهر الفلكي أقصر من الشهـر الاقـتراني، وذلك لأن الأرض تقوم بجذب القمر معها في مدارها حول الشمس. ولذلك فإن القمر يعـود إلى موقعه بالنسبة إلى الخلفية النجمية بشكل أسرع من عودته إلى موضعه بالنسبة للشمس. بـيـد أنـه لا أهـمـيـة للشهـر الفلكي بالنسبة للتقـويم القـمـري.

3. إن الشهـر الاقـتراني هو عـدد كـسري (عـدد غير صحيح) من الأيام. ونتيجة لذلك تكـون الأشهـر بالتناوب بين 29 يوما و30 يوما. ومن المعروف أنه خلال دورة 30 سنة من التقويم الإسلامي، يكون فيها 19 عاما من 354 يوما (أي سنة بسيطة)، و11 عاما من 355 يوما (أي سنة كبيسة). وهذه الوتيرة تـتـبع الدورات القـمـرية، وهذا هو المنوال الذي تسير عليه الساعـة الكونية كما أنـشأها الله تعالى.

4. بعـد عـدة ساعات من الاقـتـران – وفقا لطريقة تمديد منطقة رؤية الهلال – فإن الهلال يكون مرئيا في بعض البلـدان ولا يكون مرئيا في البلـدان الأخرى. وتكون الحالة مختلفة في كل شهـر.

5. وحيث أن الشهـر لا يمكن أن يتجاوز 30 يوما كحد أقصى، فإن الهلال إذا كان غير مرئي في اليوم (ي)، فمن المؤكد أنه سيكون مرئيا في اليوم التالي (ي+1). ولن نكون مضطرين أبدا إلى أن ننتظر يومين اثنين (ي+2) حتى يكون الهلال مـرئيا. وهـذا يعني أنه بالنسبة لكل شهر، فإن بعض البلدان ينتهي فيها الشهـر في 29 يوما، والبعض الآخر في 30 يوما. وسوف تكون مدة الشهـر القمري في بلـد معين تختلف من شهـر إلى آخر، ولكن وتيرة التناوب بين 29 يوما و 30 يوما سيتم المحافظة عليها لكل بلد.

6. هذا يعني أنه في نهاية كل شهـر يمكننا أن نقـسم البلدان إلى مجموعتين: المجموعة (أ)، وتضم البلدان التي استـمـر فيها الشهر 29 يوما، والمجموعة (ب) وتضم البلدان التي استـمـر فيها الشهـر 30 يوما. وهذا الأمـر قد تـم التحقق منه أيضا في جميع حساباتنا لتواريخ المناسبات والأعياد الإسلامية. حـيـث أن تأريخ المناسبة إما أن يكون في اليوم المعـين (ي) أو في اليوم التالي(ي+1). ولا يمكن أن يكون هناك أكثر من مجـموعـتين من البلـدان في نهاية كل شهـر.

7. وتبعـا للشهــور المختلفة فإن هذا البلـد أو ذاك سيكـون في المجموعة (أ) أو في المجموعة (ب).

8. في نهاية الشهـر الأول من العـام القمري سوف يكـون هناك اثنان فقط من المجموعات الممكنة، هي: المجـمـوعة (أ)، والمجـمـوعة (ب).

9. في نهاية الشهر الثاني، يكون عـدد المجموعات الممكنة مساويا : 22 أي 4 مجـمـوعات هي: (أ.أ)، (ب.ب)، (أ.ب) و(ب.أ)، أي (البلـدان التي يكون فيها الشهـران كلاهما 29 يوما، والتي يكون فيها الشهـران كلاهما 30 يوما، ثم التي يكون فيها الشهر الأول 29 يوما والشهـر الثاني 30 يوما، وأخيرا البلدان يكون فيها الشهـران بالعكس من هذه الحالة الأخيرة).

10. وكل شهـر فإن عدد الاحتمالات الممكـنة يزيد حسـب أس العـدد 2: 23, 24…

11. في نهاية السنة يكون عـدد الاحتمالات النظـرية الممكـنة هو 212 ويساوي 4096.

12. العـدد النظري للاحتمالات الممكنة لا يتطابق مع الواقع، لأنه ابتداء من الشهـر الرابع فإن الاحتمالات (أ.أ.أ.أ) أو (ب.ب.ب.ب) أي (4 أشهـر متتالية من 29 يوما أو من 30 يوما) سيتـم استبعادها. لأن الأشهـر يجب أن تتناوب بكل انسجام بين 29 يوما و30 يوما. أما أن يكون العام من 12 شهـرا كلها من نوع (أ)، أو أن تكون كلها من النوع (ب) فهذا أمـر مـستحيل.

13. وفي الواقع أننا لا نهـتـم كـثـيرا بالأشهــر الوسيطة. لأن ما نريد حـسابه هو عـدد التقويمات الممكنة في نهاية العام، أي بعد انقضاء اثني عـشر شهـرا. لذا فإنه يمكننا الانتقال مباشرة إلى الشهـر 12.

14. في الشهـر 12 يكـون لدينا 4096 صفا مكـتـوبا باستخدام جميع التوليفات الممكنة من (أ) و (ب) : 12 مـرة (أ)، 12 مرة (ب)، 11 مرة (أ) و1 مرة (ب)، وهلم جـرا. ولكن إنما يعـنيـنا من كل هذه التركيبات النظرية الأسطـر التي يكـون فيها 6 مـرات (أ)، وبالتالي – وبالضرورة أيضا- 6 مـرات (ب)، لأن هناك 12 حالة فقط في كل صف. هذا بالنسبة للسنوات العادية من 354 يوما (أي السنة البسيطة)، وهي كافية لحـسـاباتـنا.

15. والسؤال الذي يجب طرحه هو: كم سيكون بين 4096 سطرا عـدد حالات وقـوع 6 مرات (أ) ، أو 6 مرات (ب)، (وهو الشيء نفسه بالطبع)؟. ويكون الجـواب من خلال التحليل التـوافـقي، أن عدد حالات وقـوع الحرف (أ) “ص” مـرة في سلسلة من “ن” موضع، يـتـم تحديدها باستخـدام الصيغة الرياضية: ع (ن؛ ص) = ن! \ (ص! * (ن- ص!)). وفي حالتـنا هذه، لدينا: ن = 2 ، و ص = 6، وعليه يكون لدينا بالنسبة لعـدد الصفوف التي سيتم فيها العثور 6 مرات (أ)، (وهو الأمر ذاته بالنسبة للحالات التي سيتم فيها العثور 6 مرات (ب)):
ع(12؛6) = 12! / (6! * 6!) = (12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7) / (6 × 5 × 4 × 3 × 2).
والنتيجة هي 924. أي أنه بين كل التوليفات الممكنة في نهاية السنة نجـد 924 تركيبة فيها ستة أشهـر من 29 يوما و6 أشهـر من 30 يوما، أي في السنة العادية.

16. ولكن يتوجب علينا أن نقوم بخفض هـذا الرقـم أكثر فأكثر. ففي الواقع لدينا من وقت إلى آخر يتفق وقـوع 3 أشهر متتالية من 30 يوما أو من 29 يوما. وبالنظر في جداول التقـويمات على موقعـنا فإننا نجد أنه في كل من عام 1432 وعام 1433 قد كان شهـر ربيع الأول 30 يوما، وكذلك كان شهر ربيع الآخر، وشهر جمادى الأولى، أي كل منها 30 يوما وعلى التوالي. ومن بين هذين العامين فقد كان عام 1432سنة كـبيسة أي من 355 يوما، وكان عام 1433 سنة عادية أي من 354 يوما.

ومهما يكن فإنه يجب علينا أن نـقـبـل بـوجـود ثلاثة أشهـر متتابعة من 29 يوما أو من 30 يوما، ولكن لا يمكن أبـدا أن يكـون ذلك في أربعة أشهـر متتالية. وعلى المستوى الرياضي يجـب علينا أن نتخلص – من بين الصفـوف 924 التي لدينا – من كل الصفوف التي يقع فيها تتابع (أ.أ.أ.أ) أو (ب.ب.ب.ب) أربع مرات. ومن باب أولى أن نتخلص من تتابع » 6 مرات(أ) « ، و» 6 مرات (ب) « و » 5 مرات (أ) « ، و » 5 مرات (ب) « . وهو ما سنقـوم به فيما يلي خطوة خطوة.

17. من بين 924 صفا من الصفوف التي فيها » 6 مرات (أ) «، و » 6 مرات (ب) «، لا يمكن أن يكون هناك سوى اثنـين من الصفوف التي يتتابع فيها » 6 مرات (أ) « و » 6 مرات (ب) « ،
أحدهما هو: (أ.أ.أ.أ.أ.أ.ب.ب.ب.ب.ب.ب) والآخر هو: (ب.ب.ب.ب.ب.ب.أ.أ.أ.أ.أ.أ). ويتوجب عليـنا إذن أن نقـوم بإزالة هـذين الصفـين من المجموع 924.

18. ونقوم الآن بحـسـاب عدد مـرات وقـوع »5 مرات (أ)«. ونحـن لن نحـسب إلا »5 مرات (أ)« لأن حساب »5 مرات (ب) « سوف يكـون متطابقا. ويمكننا ببساطة مضاعفة النتيجة التي نجدها في حساب »5 مرات (أ) «. نحن بحاجة إلى دراسة جميع الهيئات التي يمكن أن تقع فيها السلسلة من 5 (أ) في صف يتكون من 6 (أ) و من 6 (ب). إن هناك ثلاث حالات ممكنة:

(1) الحالة الأولى: يظهـر تتابع 5 (أ) في أول الصف هكذا: (أ.أ.أ.أ.أ) . ويلـزم بالضرورة أن يتبع (ب) هذه 5 (أ) من أجل تجنب تتابع 6 (أ) وهي الحالة التي تم استبعادها من قبل. وعليه سيكون تتابع 5 (أ) في أول الصف ممثلة كما يلي: (أ.أ.أ.أ.أ.ب.س.س.س.س.سٍ.س)، حيث تمثل 6(س) 1(أ) و5(ب)، مع إمكانية أن يكون الحرف (أ) في أي موضع من التصفيف.

ويكون عدد التوليفات الممكنة من 1(أ) في سلسلة من 6 مواضع محسوبا وفق الصيغة:
ع (6؛1) = 6! / (1! * (6-1)!) = (6 × 5 × 4 × 3 × 2) / (5 × 4 × 3 × 2) = 6.
إذن هناك 6 حالات يمكن أن يظهـر فيها (أ) في سلسلة من 1(أ) و 5(ب). ومنه يمكن الاستنتاج أن هناك 6 صفوف يظهـر فيها (أ) 5 مرات في أول الصف ويليها (ب) ثم (أ) مرة واحدة خلال العناصر الستة التالية. إذن هذه الصفوف الستة سيتم استبعادها.

(2) الحالة الثانية: يظهـر تتابع 5(أ) في آخـر الصف: (س.س.س.س.س.س.ب.أ.أ.أ.أ.أ)، ويلـزم بالضرورة أن يسبقها (ب). أما 6(س) في أول الصف فهي تمثل 1(أ) و 5 (ب)، وهذه حالة مشابهة للحالة السابقة. حيث أن 1(أ) المتبقي يمكن أن يظهـر في ستة مواضع مختلفة قبل (ب). ومن جديد يكون لدينا ستة صفوف يتم استبعادها.

(3) الحالة الثالثة: وهي الحالة الأشد تعقيدا، حيث يمكن أن يظهـر تتابع 5(أ) في أي موضع من السلسلة ذات 12 مواضعا، على أن يحدها عنصر من (ب) من الجانبين، وذلك حتى نتجنب تتابع 6 (أ). ويمكن كتابة هذه السلسلة على النحو التالي: (س.ب.أ.أ.أ.أ.أ.ب.س.س.س.س). علما أن العنصر (س) في البداية يمكن أن يكون (أ) أو أن يكون (ب)، وكذلك الأمر بالنسبة لبقية العناصر الأربعة (س) في آخر الصف.

إن عدد الحالات التي يمكن أن يظهـر فيها 1(أ) خلال سلسلة من 5 مواضع هو: ع(5؛1) = 5. ولكن هذه الحالة يمكن أن تتكرر 5 مرات، حيث يمكن أن يظهر 1 أو 2 أو 3 أو 4 أو 5(س) في بداية الصف. وهكذا يمكن أن يوجد(5 * 5) أو 25 صفا تتضمن تتابع 5(أ) على اختلاف تموضعها خلال سلسلة من 12 عنصرا.

19. وبالتالي فإن مجموع الحالات الثلاثة التي يتتابع فيها 5(أ) يساوي: 6 + 6 + 25 = 37. وبالإضافة إلى هذا فإن حالات تتابع 5(ب) سواء في بداية الصف أو في نهايته، أو في أي موضع آخر داخل الصف، هي حلالات متماثلة تماما مع الحالات التي ذكرناها بالنسبة لتتابع 5(أ). وبالتالي يكون لدينا كذلك 37 صفا يتضمن تتابع 5(ب).

وعليه فإن مجموع عدد الصفوف التي يمكن استبعادها بسبب تتابع 5(أ) أو تتابع 5 (ب)، من بين 924 صفا التي لدينا يكون مساويا 2 * 37 أي 74 صفا.

20. وبقى علينا أن ندرس حالات تتابع 4(أ) أو 4(ب) والتي يجب علينا استبعادها من مجموع 924 صفا التي لدينا. ومن جديد فإن لدينا ثلاث حالات ممكنة:

(1) الحالة الأولى: يظهـر فيها تتابع 4 (أ) في أول الصف متبوعا بالضرورة بالعنصر (ب)، وذلك من أجل تجنب تتابع 5 (أ) وهي الحالة التي تم استبعادها من فيما سبق. ويمكننا كتابة السلسلة كما يلي: (أ.أ.أ.أ.ب.س.س.س.س.س.سٍ.س). ويمثل 7(س) في نهاية الصف 2(أ) و 5(ب). أما عدد التوليفات التي يكون فيها 2(أ) داخل سلسلة من سبع عناصر من (أ) و (ب) فهو حسب الصيغة:

ع(7؛2) = 7! \ (2! * (7-2)!) = 7*6*5*4*3*2 \ 2*5*4*3*2 = 21.
إذن يوجد 21 حالة يمكن أن تتضمن تتابع 4(أ) في بداية سلسلة من 6(أ) و 6(ب).

(2) الحالة الثانية: ويظهـر فيها تتابع 4(أ) في آخـر الصف، ويلـزم بالضرورة أن يسبقها (ب)، ويمكننا كتابة السلسلة كما يلي: (س.س.س.س.س.س.س.ب.أ.أ.أ.أ). وأما العناصر 7(س) في أول الصف فهي تمثل 2(أ) و 5 (ب)، وهذه حالة مشابهة تماما للحالة السابقة. وفي سلسلة من 7 مواضع فإنه يمكن أن يظهـر 2(أ) في 21 هيئة مختلفة، إذن يوجد 21 حالة يمكن أن تتضمن تتابع 4(أ) في نهاية سلسلة من 6(أ) و 6(ب).ويظهـر فيها تتابع 4(أ) في آخـر الصف، ويلـزم بالضرورة أن يسبقها (ب)، ويمكننا كتابة السلسلة كما يلي: (س.س.س.س.س.س.س.ب.أ.أ.أ.أ). وأما العناصر 7(س) في أول الصف فهي تمثل 2(أ) و 5 (ب)، وهذه حالة مشابهة تماما للحالة السابقة. وفي سلسلة من 7 مواضع فإنه يمكن أن يظهـر 2(أ) في 21 هيئة مختلفة، إذن يوجد 21 حالة يمكن أن تتضمن تتابع 4(أ) في نهاية سلسلة من 6(أ) و 6(ب).

(3) الحالة الثالثة: وتبقى الحالة الأخيرة حيث يظهـر تتابع 4(أ) في أي موضع داخل سلسلة من 6(أ) و6(ب). هذه السلسلة يمكن كتابتها كما يلي: (س.ب.أ.أ.أ.أ.ب.س.س.س.سٍ.س). علما أن 2(ب) يجب أن تحيطا بتتابع 4(أ) من أجل تجنب تتابع 5(أ). أما العناصر 6(س) فتمثل 2(أ) و 4(ب). ويتـم حساب عدد التوليفات التي تتضمن 2(أ) خلال سلسلة من 6 مواضع، حسب الصيغة:

ع(6؛2) = 6! \ (2! * (6-2)!) = 6*5*4*3*2 \ 2*4*3*2 = 15.
ولكن هذه الحالة يمكن أن تتكرر 6 مرات، حيث يمكن أن يظهر 1 أو 2 أو 3 أو 4 أو 5 أو 6(س) في بداية الصف. وهكذا يمكن أن يوجد(6 * 15) أي 90 صفا تتضمن تتابع 4(أ) على اختلاف تموضعها خلال سلسلة من 12 عنصرا.

21. وبالتالي فإن مجموع الحالات الثلاثة التي يتتابع فيها 4(أ) يساوي: 21 + 21 + 90 = 132. وبالإضافة إلى هذا فإن حالات تتابع 4(ب) سواء في بداية الصف أو في نهايته، أو في أي موضع آخر من الصف داخل سلسلة من 12 موضعا، هي حلالات متماثلة تماما مع الحالات التي ذكرناها بالنسبة لتتابع 4(أ). وبالتالي يكون لدينا كذلك 132 صفا يتضمن تتابع 4(ب).

وعليه فإن مجموع عدد الصفوف التي يمكن استبعادها بسبب تتابع 4(أ) أو تتابع 4(ب)، من بين 924 صفا التي لدينا يكون مساويا 2 * 132 أي 264 صفا.

22. وباختصار: لدينا 924 حالة ممكنة لكتابة تقويم فيه 6 مرات (29 يوما) و6 مرات (30 يوما). وفي هذا العدد يجب علينا أن نستبعد حالتي تتابع 6 مرات (29 يوما) و تتابع 6 مرات (30 يوما). ثم استبعاد 74 حالة تتضمن تتابع 5 مرات (29 يوما) و تتابع 5 مرات (30 يوما). وأخيرا، استبعاد 264 حالة تتضمن تتابع 4 مرات (29 يوما) و تتابع 4 مرات (30 يوما). وفي النتيجة يكون لدينا 548 تقويما شرعيا ممكنا تتناوب فيه الشهور بين 29 يوما و 30 يوما، على أن لا يتجاوز الحد الأعلى لتتابع الشهـور المتساوية من (30 يوما مثلا) 3 أشهـر متتالية.

الخلاصة: يبلغ عدد التقاويم الهجـرية الشرعية الممكنة في العالم – من خلال الاعتماد على الحساب الدقيق للتحليل التوافـقي- 584 تقويما. وهـذا الرقم يتجاوز بكثير عدد البلدان في العالم. ومع ذلك فإنه يمكننا أن نؤكد أننا سنقـوم بحساب تقويم دقيق لكل بلـد عن طريق إنشاء منحنيات رؤية الهلال الجديد شهرا بعد شهر.